在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，華夏大地上涌現(xiàn)出了很多著名的學(xué)派并流傳至今，而后人也把這個(gè)思想文化迸發(fā)、群星閃耀的局面稱為“百家爭(zhēng)鳴”?；氐轿覀冏钍煜さ腃FD領(lǐng)域，作為RANS方法能夠生存的最重要基石，無數(shù)的學(xué)者提出了各種各樣的湍流模型，可謂百花齊放?？墒瞧駷橹?，仍然沒有一款湍流模型能夠一統(tǒng)天下，于是，在各種CFD軟件中下拉湍流模型選項(xiàng)的時(shí)候也總是能看到很多種選擇，這讓有選擇困難癥的小伙伴們非常無奈。今天，我們就和大家一起聊一聊湍流模型的百家爭(zhēng)鳴。

　　01計(jì)算流體力學(xué)的門縫

　　我們?cè)谇懊娴奈恼轮姓f過，因?yàn)橥牧鞅旧淼臒o序和非定常性，N-S方程雖然在理論上可以描述湍流，但是實(shí)際上卻無法求解。直到1883年，雷諾通過經(jīng)典的染色實(shí)驗(yàn)讓人們親眼目睹了‘速度’這一物理變量的復(fù)雜性，而速度紊亂的時(shí)空演化本質(zhì)上就是N-S方程的實(shí)際解。人們似乎看到了流動(dòng)源頭，不過湍流本身的復(fù)雜性卻排山倒海般攔在所有人面前。

　　幸好對(duì)于大部分工程問題，我們并不需要完全求解湍流。比如工程上更關(guān)心流動(dòng)的壓力損失和平均速度分布，而非湍流的細(xì)節(jié)。實(shí)驗(yàn)做完五年以后，雷諾幡然醒悟：既然流動(dòng)未可知，不妨使用統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想——對(duì)N-S方程進(jìn)行平均，把瞬時(shí)速度u分解為時(shí)均速度ū和脈動(dòng)速度u’，代入N-S方程即可得到雷諾平均的N-S方程，也就是RANS。

　　然而雷諾平均的N-S方程似乎更復(fù)雜了，除了平均速度的應(yīng)力，上式中還多了脈動(dòng)應(yīng)力項(xiàng)，稱之為雷諾應(yīng)力，成為新的攔路虎。不過冥冥之中自有天意，在雷諾提出對(duì)N-S方程進(jìn)行平均的十年前， Boussinesq 已經(jīng)將湍流脈動(dòng)引起的切應(yīng)力類比成了牛頓內(nèi)摩擦定律，即用粘度乘以速度梯度來表示湍流脈動(dòng)引起的切應(yīng)力，這就是大名鼎鼎的渦粘性假設(shè)：雷諾應(yīng)力=μt*(?ū/?y)，其中的μt為渦粘性系數(shù)。至此，通往計(jì)算流體力學(xué)的大門終于打開了一條細(xì)縫。

　　02湍流模型的破局

　　縫隙雖開，人們還是擠不進(jìn)去——對(duì)于絕大部分情況，μt 是未知的，而且渦粘性在邊界層附近變化很大。直到咱們廣義的祖師爺普朗特于1924年提出了混合長(zhǎng)度理論，湍流的計(jì)算從數(shù)學(xué)表達(dá)到工程應(yīng)用這座橋梁才逐漸變得清晰。

　　流體的粘性來自于分子自由運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的摻混，與分子自由程密切相關(guān);對(duì)于渦粘性，也可以定義類似的參數(shù)。于是，普朗特定義混合長(zhǎng)度l為湍流脈動(dòng)摻混的長(zhǎng)度，其物理意義為流體微團(tuán)耗散前所經(jīng)歷的距離。

　　于是，脈動(dòng)速度可以表示為混合長(zhǎng)度與壁面法向速度梯度的乘積，而渦粘性系數(shù)則可以相應(yīng)的表述為μt=ρl2 *(?ū/?y)。只要知道了混合長(zhǎng)度，便可以明確渦粘性系數(shù)，進(jìn)而求解RANS方程。

　　然而混合長(zhǎng)度的準(zhǔn)確值也很難得知，于是普朗特繼續(xù)發(fā)揚(yáng)“跟著感覺走，天下在我手”的科學(xué)精神，大膽的認(rèn)為混合長(zhǎng)度與到壁面的距離成正比，從而得到了CFD領(lǐng)域第一個(gè)實(shí)用的渦粘模型。盡管普朗特的理論有東拼西湊的嫌疑，但是它使得湍流模型和計(jì)算流體力學(xué)實(shí)現(xiàn)了真正意義上的破局，并引領(lǐng)了其后近百年時(shí)光的CFD大發(fā)展。

　　03零方程模型的演化

　　普朗特的混合長(zhǎng)度模型是代數(shù)模型，相當(dāng)于直接用代數(shù)公式定義了渦粘性系數(shù)，被稱為零方程模型，即不引入額外的方程即可求解雷諾平均的N-S方程。小伙伴們都知道流動(dòng)的邊界層是很復(fù)雜的，從內(nèi)層到外層的流動(dòng)狀態(tài)或者速度的分布也有很大的差異，普朗特用一個(gè)簡(jiǎn)單的線性公式來表示混合長(zhǎng)度確實(shí)不夠完善。

　　1978年， NASA Ames研究中心的Baldwin和Lowmax在AIAA第16屆航空航天科學(xué)會(huì)議上發(fā)表經(jīng)典的論文《Thin Layer Approximation and Algebraic Model for Separated Turbulent Flows》，提出了一種更合理的混合長(zhǎng)度模型。

　　Baldwin和Lowmax基于湍流邊界層內(nèi)外層的流動(dòng)差異，將湍流粘性系數(shù)也相應(yīng)的定義成了兩個(gè)公式。內(nèi)層延續(xù)普朗特的理論，而外層使用了更加符合實(shí)際的Clauser公式。當(dāng)然在實(shí)際使用中，兩位學(xué)者也做了一些更新。后來很多學(xué)者使用B-L模型計(jì)算了翼型的繞流、平板流動(dòng)、臺(tái)階流，甚至是超聲速的流動(dòng)，仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)都呈現(xiàn)比較好的一致性。

　　作為一種典型的代數(shù)模型，B-L模型不需要引入額外的方程即可求解RANS方程，其計(jì)算量較小，因此很多商用CFD軟件仍然會(huì)在湍流模型庫(kù)中保留B-L模型。不過需要特別說明的是，B-L模型只適用于小曲率、無分離的流動(dòng)，不適合分離流、噴流或逆壓梯度較大的流動(dòng)。

　　04備受矚目的k-epsilon模型

　　零方程模型看似化繁為簡(jiǎn)，卻也逃不過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧黧w力學(xué)家的吐槽——該模型通過簡(jiǎn)單的公式定義渦粘性系數(shù)，而忽略了湍流復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)。是時(shí)候翻翻舊賬了：在20世紀(jì)早期人們發(fā)現(xiàn)了湍流能級(jí)串的現(xiàn)象，1941年前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Kolmogorov又提出了湍流能量譜理論，人們慢慢理解了湍動(dòng)能的生成和耗散的規(guī)律。

　　前人栽樹，后人乘涼。于是一種攜帶著湍流演化思想的湍流模型便應(yīng)運(yùn)而生了，那便是兩位CFD領(lǐng)域的頂級(jí)大神B.E. Launder和D.B. Spalding以及他們的博士生們?cè)?0世紀(jì)70年代初陸續(xù)提出來的k-epsilon模型。

　　k-epsilon模型也屬于渦粘性模型，不過它變換了另外一種更加湍流的思想來求解混合長(zhǎng)度，進(jìn)而求解渦粘性系數(shù)：Kolmogorov的各向同性假設(shè)告訴我們湍流脈動(dòng)速度u'=v'=w'，因此湍動(dòng)能k則可簡(jiǎn)化為3/2*u'2，而另外一個(gè)重要的參數(shù)epsilon表示流體微團(tuán)的耗散率，即湍動(dòng)能/耗散時(shí)間。

　　而定義為流體微團(tuán)耗散前所經(jīng)過距離的混合長(zhǎng)度l，則可以順勢(shì)定義為耗散時(shí)間和流體微團(tuán)速度的乘積。當(dāng)然流體微團(tuán)的速度和脈動(dòng)速度是相當(dāng)?shù)?，通過經(jīng)驗(yàn)系數(shù)來表示，于是我們可以用湍動(dòng)能和湍流耗散率來表示湍流粘性系數(shù)。

　　面對(duì)多出來的兩個(gè)未知量k和epsilon，則分別建立其輸運(yùn)方程進(jìn)行封閉，這便是我們熟悉的k方程和epsilon方程。不過需要特別指出的是補(bǔ)充的epsilon方程中包含了經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，這些系數(shù)一般由實(shí)驗(yàn)得出，因此限制了k-epsilon模型的適用范圍。實(shí)際工程應(yīng)用中，也有很多工程師會(huì)根據(jù)特定的應(yīng)用場(chǎng)景修改相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)來匹配實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。

　　k-epsilon模型是對(duì)混合長(zhǎng)度理論的進(jìn)一步發(fā)展，因此相對(duì)于零方程模型適用于更復(fù)雜的流動(dòng)。不過通過上述的推導(dǎo)，大家也可以看出來k-epsilon模型仍然有拼湊的嫌疑。它建立于湍流各向同性假設(shè)基礎(chǔ)之上，因此適合于完全發(fā)展的湍流，但不適用于逆壓梯度較高的流動(dòng)，以及噴流和二次流。因此還有學(xué)者提出了Realizable 以及RNG k-epsilon模型，在壁面邊界層的處理以及分離流動(dòng)的求解有了明顯的增強(qiáng)。

　　05寄于厚望的k-omega & SST模型

　　作為流傳最廣以及變種最多的湍流模型，k-epsilon模型的家族成員迄今為止仍然活躍在各大CFD軟件之中。不過愛折騰的人類怎能放過展示自己的機(jī)會(huì)呢，為了改善k-epsilon模型在求解逆壓梯度的流動(dòng)中的計(jì)算精度問題，眾多學(xué)者做了很多嘗試。其中1988年，CFD大神Wilcox提出的k-omega模型被給予了很大的期望，并一路演化，在2006年，由Wilcox自己做了進(jìn)一步的更新，形成了今天成熟的k-omega模型。

　　該模型定義了比耗散率omega，并通過k和omega來描述湍流粘性系數(shù)。從方程結(jié)構(gòu)來看，omega方程和epsilon方程非常相似，但是兩者之間有一個(gè)重要的區(qū)別——epsilon方程中的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)來源于粘性底層中的阻尼函數(shù)，而omega方程中的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)卻不需要。這個(gè)阻尼函數(shù)的精度在強(qiáng)逆壓梯度的流動(dòng)中存在一定的精度問題，因此k-epsilon模型不適合于處理逆壓梯度較大的流動(dòng)，而k-omega模型卻能夠很好的駕馭。

　　此處需要特別指出的是，如果把omega的表達(dá)式直接代入epsilon方程，直接推導(dǎo)出來的方程比omega方程多了一個(gè)交叉擴(kuò)散項(xiàng)，而這一項(xiàng)正是兩者之間的差異來源。

　　k-omega模型的確能夠很好的改善強(qiáng)逆壓梯度附近的流動(dòng)求解，但是它也存在一個(gè)比較明顯的缺陷：當(dāng)自由來流中湍動(dòng)能出現(xiàn)微小的變化時(shí)，湍流粘度系數(shù)會(huì)出現(xiàn)劇烈的變化，導(dǎo)致流動(dòng)的計(jì)算出現(xiàn)明顯的不合理;同時(shí)表面摩擦系數(shù)也會(huì)出現(xiàn)一定的變化，影響分離位置的判斷。反觀k-epsilon湍流模型對(duì)于自由來流的湍動(dòng)能變化則沒有那么敏感。

　　既然k-omega和k-epsilon各有所長(zhǎng)，那就把它們結(jié)合起來吧，于是一個(gè)更加適用的湍流模型就誕生了。1992年，NASA Ames研究中心的Menter博士提出了著名的k-omega SST湍流模型，在omega方程后面添加了一個(gè)交叉擴(kuò)散項(xiàng)，這個(gè)交叉擴(kuò)散項(xiàng)剛好就是k-omega和k-epsilon模型之間的差異，而Menter博士則聰明的在這個(gè)交叉擴(kuò)散項(xiàng)上面乘了一個(gè)混合函數(shù)，通過混合函數(shù)則可以輕易的控制湍流模型的變身：當(dāng)混合函數(shù)為1時(shí)，omega方程還是omega方程，用于邊界層附近的求解，而當(dāng)混合函數(shù)為0時(shí)，omega方程則變身成了epsilon方程，用于主流的求解，當(dāng)然兩者之間通過一個(gè)混合區(qū)域來進(jìn)行更加光順的過渡。

　　憑借著更好的適用性和計(jì)算精度，k-omega SST模型成為了越來越多的CFD工程師的選擇，尤其在航空航天和葉輪機(jī)械領(lǐng)域的出鏡率極高。

　　06特立獨(dú)行的一方程模型

　　既然有零方程模型和兩方程模型了，那中間的一方程呢?

　　一方程模型當(dāng)然是有的，只是它并非是零和二之間的過渡，而是另外一種更加特立獨(dú)行的湍流模型。波音公司的大神Spalart基于翼型計(jì)算的豐富經(jīng)驗(yàn)，于1994年和Allmaras一起提出了著名的S-A模型。該模型不再使用湍動(dòng)能和湍流耗散率計(jì)算渦粘性系數(shù)，而是直接導(dǎo)出渦粘性系數(shù)的輸運(yùn)方程。

　　這種模式更適合于平均流場(chǎng)中有劇烈變化的湍流，比如幾何曲率明顯變化、存在激波等工況，因此廣泛應(yīng)用于航空航天和葉輪機(jī)械領(lǐng)域。不過標(biāo)準(zhǔn)的S-A模型并沒有針對(duì)一般工業(yè)流域的流動(dòng)進(jìn)行校準(zhǔn)，尤其是某些自由剪切流動(dòng)比如平面射流，可能會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。因此，它是一種更專用的湍流模型。

　　07朱砂痣 or 蚊子血?

　　作為RANS方法最重要的基石，湍流模型伴隨著CFDer們一起進(jìn)步和成長(zhǎng)。但因?yàn)镽ANS方法天然上忽略了湍流非定常的本質(zhì)，使得湍流模型無論如何七十二變，都似乎難以抓住湍流這只頑猴。也難怪陪伴了CFDer這么久，湍流模型卻時(shí)常被拍在墻上變成了一抹蚊子血。

　　不過筆者倒是更愿意相信，隨著硬件和CFD方法的提升，LES甚至是DNS會(huì)慢慢融入并替代現(xiàn)在的RANS。到那時(shí)，或許我們會(huì)時(shí)長(zhǎng)懷念起曾經(jīng)和這些湍流模型一起掙扎的歲月，而這些湍流模型也會(huì)因?yàn)槲覀兊膽涯疃兂尚乜诘闹焐梆搿?/p>

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